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Nous représenterons les applications par deux types d’illustrations : les ensembles « patates », l’ensemble de départ (et celui d’arrivée) est schématisé par un ovale ses éléments par des points.
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Ces objets sont appel´es les ´el´ements de l’ensemble. Exemples 1) N= l’ensemble de tous les nombres entiers positifs. 2) Z= l’ensemble de tous les nombres entiers relatifs. 3) Q= l’ensemble des nombres rationnels m n, m,n ∈ Z, n 6= 0. 4) R= l’ensemble des nombres r´eels. 5) R+ = l’ensemble des nombres r´eels positifs.
On peut exprimer un ensemble : En extension : en écrivant la liste de tous les éléments qui lui appartiennent (l’ordre dans lequel ils apparaissent n’a aucune importance). On encadre la liste d’accolades et l’on sépare les éléments par des points-virgules. Exemple : E={ 0;2;4;6;8 }
. Exercice - 1 ) Soit E = f1; 2; 3g. Donner tous les sous-ensembles de E. 2 ) Montrer, par recurrence sur n, qu'un ensemble a n elements a 2n sous-ensembles. 3 ) Soient A et B des sous-ensembles d'un ensemble E. A . si et seulement si P(A. .
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Dessinons un diagramme aussi simple que possible qui représente les deux ensembles, en tenant compte de la remarque que nous venons de faire! • Définition Si tous les éléments d’un ensemble sont aussi des éléments d’un ensemble E, on F dit que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F ou encore que E est inclus dans F. • Notation
1. Les ensembles. Un ensemble est une collection bien définie d'objets qu'on nomme éléments. Exemple. Soit Ω, l'ensemble de tous les résultats obtenus en faisant la somme de 2 dés : . Ω 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ; . Les valeurs 2, 3, 4, ... , 12 sont les éléments de l'ensemble .
D ́efinition 1 Un ensemble est une collection de choses qu’on appelle ́el ́ements. L’ensemble vide est not ́e ∅. Dans la suite, on consid`erera toujours un ensemble universel Ω (on lit“grand om ́ega”), et tous les ensembles consid ́er ́es seront des parties de Ω. On note P(Ω) l’ensemble des parties de Ω. Exemple.
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