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Composantes principales. À chaque axe est associée une variable appelée composante principale. La composante c1 est le vecteur renfermant les cordonnées des projections des individus sur l’axe 1. La composante c2 est le vecteur renfermant les cordonnées des projections des individus sur l’axe 2.
Analyse en Composantes Principales (ACP) Marie Chavent. Université de Bordeaux. 2020-2021. Quelques ressources pour ce cours. Vidéo sur l’ACP : https://youtu.be/i-mEyUa9U5k. Livre : Analyse des données avec R, F. Husson, S. Lê, J. Pagès, éditions PUR. R package : FactoMineR. Ressources pédagogiques :
- Motivations
- Les données en ACP
- Nous considérons X centrée-réduite (ACP normée)
- Typologie des individus
- Nous considérons X centrée-réduite (ACP normée)
- Typologie des individus
- Typologie des variables
- Nous considérons X centrée-réduite (ACP normée)
- Typologie des individus
- Typologie des variables
- Information
- Distance dans R
- Vers une représentation simplifiée
- Aide à l’interprétation
- Exemple : effet taille
L’Analyse en Composantes Principales (ACP) est la méthode de base en statistique exploratoire multidimensionnelle (ou analyse des données) Multidimensionnelle : l’analyse porte sur plusieurs variables Exploratoire : descriptive (par opposition à inférentielle) Il s’agit de résumer l’information portant sur plusieurs variables en faisant émerger des...
En ACP les données se présentent dans un tableau X à n lignes et p colonnes où chaque ligne représente un individu chaque colonne représente une variable Les variables sont quantitatives : la matrice X est constituée de valeurs numériques
Le tableau X peut être analysé à travers ses lignes (les individus) ou à travers ses colonnes (les variables) ) résumer l’information en gardant à l’esprit cette dualité Objectifs Nous considérons X centrée-réduite (ACP normée) Le tableau X peut être analysé à travers ses lignes (les individus) ou à travers ses colonnes (les variables) ) résumer l’...
Il existe une variabilité de températures entre les individus ) former des groupes d’individus semblables Termes clé : ressemblance Objectifs
Le tableau X peut être analysé à travers ses lignes (les individus) ou à travers ses colonnes (les variables) ) résumer l’information en gardant à l’esprit cette dualité
Il existe une variabilité de températures entre les individus ) former des groupes d’individus semblables Termes clé : ressemblance
Il existe des variables liées entre elles ) former des groupes de variables liées Termes clé : liaison - corrélation Objectifs
Le tableau X peut être analysé à travers ses lignes (les individus) ou à travers ses colonnes (les variables) ) résumer l’information en gardant à l’esprit cette dualité
Il existe une variabilité de températures entre les individus ) former des groupes d’individus semblables Termes clé : ressemblance
Il existe des variables liées entre elles ) former des groupes de variables liées Termes clé : liaison - corrélation Dualité : Quelles (groupes de) variables expliquent le plus la variabilité inter-individus ? Nuage
Identification des groupes de points proches Identification de points isolés ) dans quelles directions (i.e sur quelles variables) ? Identification de la forme du nuage Des directions d’allongements en particulier ) concept clé : distances entre points
p Analogie pour calculer la distance entre points de R p : X
) Quelle est la meilleure projection ? La plus “grande” des deux Séparer les points au maximum
Aucune interprétation Aide à l’interprétation Non corrélation Aide à l’interprétation Corrélation positive Corrélation négative
Toutes les variables sont corrélées positivement : effet taille ) la plupart des villes sont ou chaudes ou froides toute l’année
L’objectif de l’Analyse en Composantes Principales (ACP) est de revenir à un espace de dimension réduite (par exemple 2) en déformant le moins possible la réalité (cf. l’introduction élémentaire à l’ACP). Il s’agit donc d’obtenir le résumé le plus pertinent possible des données initiales.
Principes et pratique de l’ACP. Ricco RAKOTOMALALA. Université Lumière Lyon 2. PLAN. Position du problème. ACP : calculs via la diagonalisation de la matrice des corrélations. ACP : calculs via la décomposition en valeurs singulières. Pratique de l’ACP. Rotation des axes pour une meilleure interprétation. Les logiciels (SPAD, SAS, Tanagra et R)
En pratique, l’analyse en composantes principales consiste à calculer les \(\mathbf{u}\) par diagonalisation de \({\bf MV}\), puis à calculer les \(\mathbf{c}=\mathbf{Xu}\). Le calcul explicite des vecteurs propres \(\mathbf{a}\) n’a que peu d’intérêt.
11 déc. 2023 · Vous y découvrirez la plus emblématique des méthodes factorielles : l'analyse en composantes principales, très souvent appelée PCA (pour Principal Component Analysis). Ici, nous l’appellerons ACP.
