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Idéalement, une méthode Monte-Carlo repose sur la simulation d’une suite de variables aléatoires (Xn)n≥1 indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) selon une loi donnée. Ce chapitre expose quelques méthodes pour y parvenir, au moins de façon approchée, en commençant par la
- F est continue à
- I. La
- E(X1).
- E(X).
- Aiguiles
- U([0; 1]), il .
- b (Rd).
- X une
- Un
- = 1 A(x) : Cg(x) Xn jusqu'à
- P(X
- X à
- ZV .
- Calcul
- ). Montrer
- f et g R ( 7!R) des
- 2 = V(X). Nous alons
- Z Z g(x)f(x)
- (E(g(X)))2 = 0 :
- X1; X2; : : :
- + E(h(X)) :
- Ii
- Rm
- r pour le
- xi
- R Z
- p est une
- N de
- Yn+1
- (Xn; Yn+1),
- H(x)
- 2). Nous
- x = (x+; x ).
- Q en
- E, nous
- p est petit,
- x. En nous
- Q en
- (x)Q(x; y) = 1 :
- f est un
- Q est symétrique.
- Q noyau de
- X0 = x0 2 E (quelconque),
- Zn
- E Espérance
- ) E( b : : (: C+ )
droite (parce que c'est une fonction de répartition) donc
première étape est de la metre sous forme d'une espérance I =
à aprocher de conance). C'est ce qui est à dire que équivalent à Calculons : l'on veut
loi que X) Nous calculons une conance Pour tout à p On peut donc aprocher
dont les lates sont espacées de (1) Calculer la probabilté quer avec aléatoire qu'un qu'en une aiguile utilsant seule tombe sur une rainure du les symétries du problème, rainure : la distance parquet. On poura remar- on peut se rammener au problème du centre de l'aiguile à
renvoie C+ ), l'utilsateur aura intérêt F. Posons,
au plus un terme non nul). (par indépendance des Nous avons f (dans
variable aléatoire à valeur dans R, de densité g. Soit
simplie en Donc l'algorithme de rejet consiste simplement à tirer des Remarque les hypothèses est aléatoire. Sous de la proposition ci-desus, ce nombre de pouvons calculer son espérance (par indépendance des (d'après la dém. de la prop.) avec
ce qu'il y en ait un dans A. de calcul) . Le nombre de boucles eectuées dans la méthode du rejet
L'algorithme ci-desus est encore valable si la v.a.
simuler a une densité quelconque et que cete densité est majorée par kg où
Coder l'algorithme en R . Vérier à l'aide d'un histogramme que la variable
de VaR. On supose que le gain obtenu par gestion d'un portefeuile
suit une loi normale centrée . (que l'on prendra égale x tel que
densités. Soit h la fonction : sup(f(x); g(x)) h(x) = R : sup(f(t); g(t))dt suivant une méthode d' aceptation/rejet. On tire f; g et
i.d. présenter de ici même loi des méthodes qui que permetent d'écrire
E(g(X)) = g(x)f(x)dx = f(x)dx e = E Rd Rd f(x) e ! g(Y )f(Y ) ; f(Y e ) avec Y de densité
Nous avons donc ici une méthode de Monte-Carlo de variance nule, ce qui semble n'avoir aucun sens. mentable. En En fait, eet, la il variance faudrait de pour cete méthode cela savoir simuler n'a suivant pas la d'intérêt densité car cete méthode n'est pas implé- f, e mais l'expresion de f e contient la constante La discusion ci-desus nous done une i...
pour Il une certaine fonction faut ensuite comparer les i.d. de même loi que
variances pour savoir quele est la méthode le Ele cas est de la deuxième méthode, l'ereur est
par une méthode de Monte-Carlo à g(X(i) ) + g(X(i) ni ) Ii Ii b = ni ; Di). Chacune de ces aproximations a un coût ni deuxième aproximation : L'ereur commise se décompose dans ce Dans cete somme, chacun des termes cas en une somme d'ereur est (aproximativement) de loi (puisqu'on fait
+). par chercher les tration qui va points critiques de suivre). Ce sont les points
Donc solution nous est gradient). Nous cherchons avons
critique est un minimum. Comme il est l'unique point critique alors,
= g(x; v)f(x; v) f(x; y)dy y R dxdv v;x u f(x; u)du Z = g(x; v)f(x; v)dxdv v;x
Fonctions Loi inférieure népérien Bernouli de paramètre p continues exponentiele
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I L™estimateur de Monte Carlo de la quantitØ θ E[g (X)] est bθ n 1 n n ∑ i=1 g (X i). I Remarquons que bθ n est une fonction de l™Øchantillon X 1,X 2,...,X n. C™est une variable alØatoire. I Exemple : Si X est un prix au temps T et que nous voulons tarifer une option d™achat, alors g (X) = e rT max(X K;0). 2
Toute simulation de Monte Carlo fait intervenir des nombres au hasard et il est donc crucial de r´epondre `a deux questions : (1) Comment g´en´erer une suite de nombres (x n ,n≥1) qui soit la r´ealisation (X n (ω),n≥1)
Les méthodes de Monte Carlo permettent d’estimer des quantités en utilisant la simulation de va- riables aléatoires. Les problèmes pouvant être rencontrés comprennent le calcul d’intégrales, les pro-
Monte-Carlo. Elle consiste à simuler un grand nombre de réalisations de g(X) puis à en prendre la moyenne pˆ(0,x), la loi des grands nombres assurant la convergence de pˆ(0,x) vers p(0,x). Le Chapitre 1 est consacré à des généralités sur les méthodes de Monte-Carlo et aux principaux modes de génération de nombres "aléatoires".
On considère une simulation de Monte-Carlo élémentaire, visant à évaluer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire en générant un grand nombre d’échantillons qui suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire.
